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群的定义

群=非空集合+二元运算+性质

定义1. 设  为一个非空集合，上有二元运算，满足结合律，则称或为一个半群。

定义2. 设  为半群，若元素  满足 ，则称  为  的左幺元（右幺元：），若  既是左幺元又是右幺元，则为幺元， 为幺元群。

定义3. 设  为幺半群，为幺元，，若元素  满足 ，则称  为  的左逆元。

定义4（群的第一种定义）. 幺半群  中的每两个元素都可逆， 称为群。

1.  对  封闭
2.  满足结合律 
3.  存在幺元 
4. 存在逆元： 使得 

定义5（群的第二/三种定义）. 幺半群  中的每两个元素都可逆， 称为群。

1.  对  封闭
2.  满足结合律 
3.  存在左/右幺元 
4. 存在左/右逆元： 使得 

命题1. 幺半群中的幺元唯一。

命题2. 设  为群，则  中任一元的逆元唯一。

群的基本性质

命题3. 群：满足左右消去律

命题4. 设  为群，则对任何，方程都存在唯一解。

命题5（群的第四种定义）. 设  为半群，若都有解，则为群。

命题6. 有限半群若满足左右消去律，则为群。

定义6. 设  为群， 的阶指  中元素的个数，记号 ，时，称为有限群，时，称为无限群。

定义7.  设  为群，，若，称的阶为无穷；若至少存在一个，则称a的阶为。

命题7. 设  为群，，则称的阶为无穷，即。

命题8. 设  为群，，则称的阶为，则：

1. 
2. 

命题9. 设  为群，，的阶为，则：

1. 的阶为，最大公因数
2. 的阶为

命题10. 设  为群，，的阶为，的阶为，且，则的阶为。