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本文将介绍如下内容：
- 什么是Lora
- 高效微调的基本原理
- LORA的实现方式
- LORA为何有效？
一、什么是LoRA
LoRA 通常是指低秩分解（Low-Rank Decomposition）算法，是一种低资源微调大模型方法，论文如下: LoRA: Low-Rank Adaptation of Large Language Models。
使用LORA，训练参数仅为整体参数的万分之一、GPU显存使用量减少2/3且不会引入额外的推理耗时。
二、高效微调的基本原理
以语言模型为例，在微调过程中模型加载预训练参数 Φ 0 \Phi_0 Φ0进行初始化,并通过最大化条件语言模型概率进行参数更新 Φ 0 \Phi_0 Φ0+ Δ Φ \Delta\Phi ΔΦ，即：
这种微调方式主要的缺点是我们学习到的参数增量 Δ Φ \Delta\Phi ΔΦ的维度和预训练参数 Φ 0 \Phi_0 Φ0是一致的，这种微调方式所需的资源很多，一般被称为full fine-tuing。
研究者认为能用更少的参数表示上述要学习的参数增量 Δ Φ \Delta\Phi ΔΦ= Δ Φ ( Θ ) \Delta\Phi(\Theta ) ΔΦ(Θ)，其中 ∣ Θ ∣ |\Theta| ∣Θ∣<< ∣ Φ 0 ∣ |\Phi_0| ∣Φ0∣，原先寻找 Δ Φ \Delta\Phi ΔΦ的优化目标变为寻找 Θ \Theta Θ：
这种仅微调一部分参数的方法称为高效微调。针对高效微调，研究者有很多的实现方式(如Adapter、prefixtuing等)。本文作者旨在使用一个低秩矩阵来编码 Δ Φ \Delta\Phi ΔΦ，相比于其他方法，LORA不会增加推理耗时且更便于优化。
三、LORA的实现方式
1、Instrisic Dimension
我们先思考两个问题：为何用数千的样本就能将一个数十亿参数的模型微调得比较好？为何大模型表现出很好的few-shot能力？
Aghajanyan的研究表明：预训练模型拥有极小的内在维度(instrisic dimension)，即存在一个极低维度的参数，微调它和在全参数空间中微调能起到相同的效果。
同时Aghajanyan发现在预训练后，越大的模型有越小的内在维度，这也解释了为何大模型都拥有很好的few-shot能力。
2、LORA
受instrisic dimension工作的启发，作者认为参数更新过程中也存在一个‘内在秩’。对于预训练权重矩阵 W 0 W_0 W0 ∈ \in ∈ R d ∗ k \mathbf{R^{d*k}} Rd∗k，我们可以用一个低秩分解来表示参数更新
Δ W \Delta W ΔW，即：
训练过程中冻结参数 W 0 W_0 W0，仅训练A和B中的参数。如上图所示，对于 h = W 0 x h=W_0 x h=W0x，前向传播过程变为：
四、LORA为何有效？
通过大量的对比实验，作者证明了LORA的有效性，但是作者希望进一步解释这种从下游任务中学到的低秩适应(low-rank adaptation)的特性。为此，作者提出了三个问题：
1、LORA应该作用于Transformer的哪个参数矩阵？
从上图我们可以看到：
- 将所有微调参数都放到attention的某一个参数矩阵的效果并不好，将可微调参数平均分配到 W q W_q Wq和 W k W_k Wk的效果最好。
- 即使是秩仅取4也能在 Δ W \Delta W ΔW中获得足够的信息。
因此在实际操作中，应当将可微调参数分配到多种类型权重矩阵中，而不应该用更大的秩单独微调某种类型的权重矩阵。
2、LORA最优的秩r是多少？
从上述实验结论我可以看到，在秩小到1或者2的时候，LORA的仍有不错的效果。因此作者假设:更新参数矩阵 Δ W \Delta W ΔW可能拥有极小的‘内在秩’。为求证此假设，作者需要计算不同秩对应的子空间之间的重叠程度，如下：
对于 r = 8 r=8 r=8 和 r = 64 r=64 r=64 两个秩，首先进行奇异值分解得到两个右奇异矩阵 U A r = 8 U_{Ar=8} UAr=8和 U A r = 64 U_{Ar=64} UAr=64。作者希望得到： U A r = 8 U_{Ar=8} UAr=8 的top-i奇异向量有多少被包含在 U A r = 64 U_{Ar=64} UAr=64的top-j个向量中。可用格拉斯曼距离来表示这种子空间之间的相似关系：
从上图可以看出 r = 8 r=8 r=8和 r = 64 r=64 r=64中的top奇异向量重叠得最多(颜色越小表示相似程度越高)，也就是说top奇异向量的作用最大，其他的奇异可能会引入更多的噪声。这证明了更新参数矩阵
Δ W \Delta W ΔW存在极小的‘内在秩’。
3、参数增量 Δ W \Delta W ΔW和 W W W的关系？
为揭示微调过程的内在原理，作者进行了如下实验：
从上图的对比结果，作者发现三个现象：
- 相比于随机矩阵， Δ W \Delta W ΔW和 W W W有强关联。 从表中的 0.32 > > 0.02 0.32>>0.02 0.32>>0.02可以看出。
- Δ W \Delta W ΔW仅放大了 W W W中任务相关的特征， 并未放大头部特征。我们知道F范数的平方等于奇异值和的平方，因此从表中的 0.32 < < 21.67 0.32<<21.67 0.32<<21.67可以看出 Δ W \Delta W ΔW和 W W W的头部奇异向量并无关联。
- r等于4时， Δ W \Delta W ΔW的放大系数已经很大了。 计算 6.91 / 0.32 ≈ 21.5 6.91/0.32 \approx21.5 6.91/0.32≈21.5可知 Δ W \Delta W ΔW能将 W W W 中相关的特征向量放大21.5倍。
因此我们可以得到结论：在训练过程中，低秩的适应矩阵 Δ W \Delta W ΔW仅仅放大了对下游任务有用的特征，而不是预训练模型中的主要特征。
参考：
- LORA微调系列(一)：LORA和它的基本原理